В каждом разделе код $CATEGORIES$ показывает свои категории.
Если хотите в любое место добавить категории конкретного раздела, думаю, нужно сделать информер
Ну, так в чем дело. Заходите в информеры, выбираете раздел, н-р, каталог статей, тип данных и т.д. Получаете код и ставите этот код, куда угодно
А блоки лучше добавлять через дизайн в админке, а не через конструктор.
У вас при переходе на главную страницу открывает главную страницу, что бы отображались категории поставьте каталог статей. Это можно сделать так: Панель управления->общие настройки->При переходе на главную страницу открывать: и здесь выберите каталог статей. Или как было сказано выше через информер.