Вопрос - ответ

Попробуйте в менеджере паролей удалить запись, которая отменяет появление диалогового окна с предложением сохранить пароль:
Инструменты ⇒ Настройки… ⇒ Формы ⇒ Пароли…
В менеджере паролей найдите папку, которая соответствует нужному сайту. Открыв папку, вы увидите одну или несколько записей в ней. Выделите и удалите ту запись, где прописан только адрес сайта, но не указан логин.
Если не помогло, то попробуйте удалить все остальные строчки, соответствующие проблемному сайту. Если опять бесполезно, то, возможно, появлению окошка препятствует User JavaScript (в частности VkOpt для сайта «ВКонтакте»). Отключается так:
Инструменты ⇒ Быстрые настройки ⇒ Включить JavaScript (снять галочку)
Если UserJS подключался только для конкретного сайта, то потребуется отключить JavaScript индивидуально для него:
Открыть нужный сайт ⇒ ПКМ в свободный участок страницы ⇒ Настройки для сайта… ⇒ Скрипты ⇒ Включить JavaScript (снять флажок)
После ввода пароля JavaScript следует включить обратно, так как он поддерживает функционирование многих современных сайтов.